¿Por qué para algunos valores de ordenada hay dos medidas de abscisa que le corresponden y, para otros valores de ordenada, le corresponde un solo valor de abscisa? ¿Qué significa esto en términos del modelo geométrico?

El que haya dos valores de abscisa correspondientes a un único valor de ordenada significa que los trapecios de esta familia pueden tomar el mismo valor de área para dos valores distintos de longitud de la diagonal BD. Ahora bien el único valor de ordenada correspondiente a un solo valor de abscisa es el de diagonal BD mínima, el cual se puede obtener "barriendo" la gráfica con una recta vertical para percatarse que es en ese punto (y no en otro) donde gráfica y recta interceptan sólo una vez.

Imágen 01_ En la Vista Gráfica (1) las longitudes de la diagonal DB del trapecio DEBI y de la altura del triángulo ABC coinciden, al mismo tiempo que en la Vista Gráfica 2 una recta vertical corta a la gráfica en un único punto (de abscisa = long. DB = long. CL).

Cuando al mover el punto D hacia el punto C estos llegan a coincidir ya no se puede hablar de área de un trapecio porque el polígono deja de serlo. En esa coincidencia este es un triángulo, por lo que no corresponde hablar del área de un trapecio. En la gráfica debería agregarse otro punto de coordenadas (10, 0).

Imágen 02_ En la Vista Gráfica (1) el punto D (del "trapecio" DEBI) coincide con el punto C (del triángulo ABC) mostrando así el triángulo IDB. En la Vista Gráfica 2 el punto Q5 debería estar donde está el punto F.

Diario de Clase

Aula: 086

Tutor/a: Ríos, Julieta.

Cursante: Martorell, Ramón Félix.

 Relato aquí una clase que tuve con los alumnos de un 3°año cuyo objetivo era introducir el tema de funciones. Comencé la clase haciendo que los alumnos se repartan unas consignas muy sencillas tales como escribir su número de calzado, su edad, su peso, su estatura, la cantidad de sus hermanos, etc. en un papel y en forma individual. Todas apuntando a que se identifiquen con un número en cada oportunidad a fin de reorganizar el curso de distintas maneras según sea el criterio a seguir. Como por ejemplo: ¡Ahora nos separamos según el número de calzado! Lo que llevó al curso a configurarse de una manera, distinta a la que se dio cuando pedía otra consigna como ser siguiendo su estatura. Después de varias “movilizaciones” (todas dentro del curso) nos sentamos a discernir de alguna forma lo que acabábamos de hacer. La idea original de lo que acabábamos de hacer era mostrar cómo una función reorganiza un cierto conjunto numérico. Pero la explicación que intentaba dar en el pizarrón -con ejemplos parecidos pero con conjuntos “más chicos”- apuntaba a otra cosa; apuntaba a ver una función como una relación “especial” entre dos conjuntos. Y ahí estuvo mi error: entreverar dos nociones de un mismo ente matemático en una misma clase.

 La explicación terminó siendo poco entendible. Mientras trataba de explicar comencé a hacer muchos cambios en los ejemplos dados, mientras mis alumnos entendían menos. Fue poco fructífero. No recuerdo que decían mis alumnos, pero sí recuerdo sus caras de desconcierto. Creo que aquí me falló la planificación, pues no había preparado una explicación acorde a mis intenciones sino más bien acorde a mis propias conclusiones. Es decir: los ejemplos me sirvieron a mí, pero no a mis alumnos.

 Otra situación un poco más favorable fue cuando expliqué el concepto de pendiente de una recta utilizando distintos registros. Ya había cursado el módulo de Enseñanza del Álgebra y las Funciones en este postítulo, y aunque todavía no lo apruebo (lo estoy recursando) ya me había quedado prendido con las conversiones entre registros por sus beneficios a la hora de entender y dominar un concepto. Mis alumnos ya estaban trabajando con rectas así que a mí solo me quedaba explicar de una manera clara las distintas conversiones, es decir el correlato entre los distintos registros. Esto lo comencé a hacer cuando, explicando en el pizarrón la realización de un ejercicio de función lineal no faltaba el alumno que me preguntara cómo paso de la fórmula a la gráfica o del gráfico a la fórmula. También explicaba la ordenada al origen, pero sólo me referiré aquí a la explicación que hice de la pendiente.

 Pasar del registro tabular al gráfico es relativamente fácil, pero el concepto de pendiente prácticamente no aparece en esta situación. Sólo hacen falta como mínimo dos puntos (bien tabulados) y la gráfica sale perfecta ubicando esos puntos. Además ubicar al menos dos puntos pertenecientes a una recta no es nada difícil para –a partir de allí- armar una tabla. Cosa que es poco probable que se pida, aunque estaría bueno considerar. La cuestión es cuando partimos de una ecuación -por ejemplo- del tipo r: y = mx + n (donde m es la pendiente) para graficar una recta. Al definir la pendiente como m = ∆y/∆x todos mis alumnos quedaban sorprendidos al ver este nuevo signo ∆, hasta que les explicaba que es sólo una diferencia entre coordenadas de dos puntos pertenecientes a la recta dada. Es decir: ∆y = y₂ – y₁ y ∆x = x₂ – x₁, siendo P₁ (x₁, y₁) y P₂ (x₂, y₂) puntos pertenecientes a r. Entendiendo lo anterior algunos ya comenzaron a tener las cosas más claras, y al ver cómo explicaba los distintos ejemplos usando el cambio de registro algunos llegaban a dominar la cuestión. También mostraba que otra forma de definir la pendiente de una recta es como la tangente del ángulo comprendido entre la recta y la dirección del eje x. Aquí terminaba armando un triángulo rectángulo bajo la recta como el que muestro a continuación, el cual facilitaba entender también la definición de la pendiente como m = ∆y/∆x.

Imagen 01: pendiente de una recta calculada como m = tgα = BC/AC = 3/1 =  (4-1)/(1-0) = 3

 Creo que explicar un concepto desde distintos puntos de vista ayuda muchísimo a entenderlo. El cambio de registro, cuando es posible, ayuda bastante y hasta me animo a decir que es indispensable.