Los criterios de congruencia de figuras

Problema 6
a) Decidan si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifiquen la respuesta.

- Si dos paralelogramos tienen los lados congruentes entonces son congruentes. FALSO

En la imagen se muestran dos paralelogramos no congruentes con sus respectivos lados congruentes.

 La no congruencia se debe a que los ángulos entre los lados respectivos son no congruentes. Si miramos ahora los paralelogramos mostrados como contra-ejemplos en función de los triángulos que los constituyen se observa claramente que estos no son congruentes, aun teniendo los lados respectivos congruentes.

- Si dos rombos tienen lados y una diagonal congruente entonces son congruentes. VERDADERO

 Al trazar una diagonal en un rombo quedan determinados en forma única dos triángulos congruentes entre si (criterio LLL) que lo constituyen. Si a partir de estos triángulos trazamos otro rombo con sus lados y la diagonal congruentes, entonces -también por el criterio LLL de triángulos- el rombo construido resultará congruente al dado.


 - Si dos rectángulos tienen la diagonal congruente son congruentes. FALSO

En la imagen se muestran dos rectángulos no congruentes cuyas diagonales son congruentes.

- Si dos paralelogramos tienen dos lados adyacentes de uno congruentes a dos lados adyacentes del otro y el ángulo comprendido también congruente, son congruentes.

 Dos lados consecutivos de un paralelogramo y el ángulo entre estos, determinan de forma única un par de triángulos congruentes que lo constituyen. Por el criterio LAL -de congruencia de triángulos- cualquier otro paralelogramo que tenga estos elementos congruentes a los dados será congruente al paralelo dado.

b) Inventen un criterio de congruencia para paralelogramos y uno para rombos. No debe ser un criterio enunciado en el problema 6.a.

  Propongo los siguientes criterios de congruencia:

 - Si dos paralelogramos tienen una de sus diagonales y dos lados consecutivos congruentes, entonces ambos paralelogramos son congruentes.

 - Si dos rombos tienen un lado y un ángulo congruentes, entonces ambos rombos son congruentes.

Construcción de trapecios y elaboración de criterios de congruencia

 Dados tres lados, incluyendo a los dos paralelos y el ángulo entre dos de ellos...

 Voy a mostrar de manera más explícita ambos trapecios:

 Muestro en la siguiente anterior una construcción que cumple con la consigna del enunciado, en este caso el ángulo se establece entre la base menor y el lado no paralelo.

  Ahora muestro otra construcción que cumple con la consigna del enunciado, en este caso el ángulo se establece entre la base mayor y el lado no paralelo.

-.-

 Dados dos ángulos y dos segmentos ... en este caso los ángulos internos al trapecio cuyos vértices son los extremos de la base mayor, y ambas bases.

Dados dos ángulos y dos segmentos, construir, si es posible, un trapecio de manera que los lados e y g sean congruentes a los segmentos dados y los ángulos alfa y beta a los ángulos dados.

¿Qué consideran que es un modelo matemático?

¿Qué es modelización?¿Para qué sirve?

¿Qué es un proceso de modelización?

  Un modelo matemático es un abstracción simplificada de la realidad que da cuenta de ciertos aspectos de esta a través de una representación matemática (fórmula, gráfico, tabla, ...).  Es decir, un modelo matemático es el resultado de una modelización matemática.  Entendiendo por modelización: un proceso por el cual llegamos a expresar una situación dada (real o ficticia) a través de una representación matemática que refleja en cierta medida (por lo general en forma simplificada) algún aspecto de la situación planteada. Ejemplo: el modelo matemático x = x₀+v₁.t expresa la posición de un móvil que parte de la posición x₀ (t₀) y se mueve a velocidad constante v₁. El siguiente gráfico muestra la velocidad de dicho móvil.

Construcciones geométricas

 Construcción de un triángulo a partir de un determinado juego de datos: un lado, una
mediana y una altura del triángulo.  

 

 (5) Para resolver 

 Les proponemos pensar y brindar valores para los datos, de manera que el triángulo que se construya sea isósceles con el lado a como uno de sus lados iguales.

 

  (6) Para resolver

¿Podrían indicar algún juego de datos de manera de lograr un triángulo equilátero?
¿Qué condiciones, necesarias y suficientes, deben cumplir los tres datos para que el triángulo sea equilátero?

 m = h = (3/4 * a^2)^(1/2) para que el triángulo GNI sea isósceles y equilátero.

 Un juego de datos posibles: 

 m = h = 2.42; a = 2.8

 

 

 

Nociones de función

   Elijo el siguiente problema del libro Estudio dirigido de Matemática 2 de Englebert, Pedemonti y Semino - Editorial AZ serie plata 3ª edición 1992, el cual se ofrece casi al final de una unidad 5 que trata: funciones directa e inversamente proporcionales (constante de proporcionalidad, propiedades), magnitudes proporcionales y problemas de regla de tres simple.

 . Resuelve

 1) Sabemos que el chita, guepardo que habita en zonas desérticas de Asia, corriendo a máxima velocidad recorre aproximadamente 58 m en 2 segundos. Calcula: 1) ¿Cuántos metros recorre en 5 segundos a esa velocidad? 2) ¿Cuál es la velocidad máxima del chita?

 Respuestas: 1) El chita recorre en 5 segundos 145 m, lo cual se obtiene aplicando una regla de tres simple directa. 2) La velocidad máxima del chita es 29 m/s, la cual se obtiene de igual manera.

 Hasta aquí el problema. Sin embargo agregaría un par de consignas a las dadas, las cuales encuadran (en su forma de plantearlas) con lo tratado en la unidad:

 3)  La siguiente tabla corresponde a la función que representa la velocidad máxima que alcanza el chita. Completa con los números que correspondan:

  t: tiempo que tarde el chita en recorrer una determinada distancia a velocidad máxima.

  d: distancia recorrida por el chita en el tiempo indicado a velocidad máxima.

 4) Escribe la fórmula de la función que describe el movimiento del chita a velocidad máxima.

 Grafica dicha función.

 5) ¿El chita podría mantenerse a esa velocidad indefinidamente?

 Se consideran aquí la noción de función como variación; una variación del espacio recorrido en un tiempo empleado. También está presente la noción de función como proporción, como razón entre dos magnitudes; en este caso de magnitudes distintas (tiempo y distancia) y directamente proporcionales, lo que ayuda a establecer dicha noción de función. Otra noción de función presente es la de función como curva donde la asociación entre la gráfica y un conjuntos de puntos (los de la tabla) se realiza de forma correcta, pues estos satisfacen condiciones en una relación funcional. La noción de función como correspondencia aparece como respuesta al inciso 4)

                     d: T—-> D

                                                                                t |—-> d(t) = 29 t

 donde se define la función distancia (d) en función del tiempo (t).

 También creo que la forma de presentar el problema es algo muy guiado. Preferiría como enunciado para este problema algo así como: “Describe el movimiento del chita” y que decir solo eso ya implique en mis alumnos la realización de un gráfico y la definición de una función con todos sus posibles acotaciones.

  

Quehacer matemático personal 

  ¿Cuál de estas tres fracciones es la mitad de 6/4: 3/4; 6/2 o 3/2?

 3/4

 ¿Por qué las otras dos fracciones no pueden ser la mitad de 6/4?

 Con 6/2 ya no estaríamos hablando de la misma subunidad (cuartos); estaríamos hablando de medios. Al igual que con 3/2.

 En la consigna no se incluyó el cálculo 6/4 : 2 sino la expresión: calcular la mitad de 6/4. Además, no solo se preguntó cuál de las tres fracciones será la mitad de 6/4 sino que también se pide la justificación de por qué las otras dos fracciones no pueden ser la mitad de 6/4.
 ¿Cuáles son las posibilidades de razonamientos y reflexiones que abren estas consignas bastante diferentes a las habituales?

 Estas consignas permiten considerar los números fraccionarios como subdivisiones de la unidad, capaces de ser contados para obtener una medida. En este caso se cuenta hasta la mitad de lo que había.

 Cuestión 01: Nuevas divisiones exactas.

 Encontrar el cociente de la división 3:5 en cada uno de los tres conjuntos numéricos: N, Z y D.

 Cuestión 02: No todas las divisiones son exactas.

  Realizar, por ejemplo, la división 21,7:1,5.

 

 Cuestión 03:  Una división en D, ¿al estilo de la de Z?

 Resolver el cociente 1:3, pero “bajando”, en una primera resolución, solo una cifra decimal. Anotar cociente y resto de la división. Realizar la división 1:3 “bajando” esta vez dos cifras decimales. Anotar cociente y resto de la división. Continuar realizando la división, bajando cada vez una cifra decimal más.

 ¿Se obtienen los mismos cocientes y restos en todos los casos?

  No se obtiene el mismo cociente, pero sí un mismo resto igual a 1. Aunque este resto se lo puede interpretar como 1/10; 1/100; 1/1000; 1/10000; ...

 El cociente y el resto de cada división, ¿verifican las dos propiedades de la división?

 El cociente es siempre menor que el dividendo; el resto es mayor o igual que cero, menor que el divisor.

 Extraer conclusiones sobre la posibilidad de definir una división en D, donde se pueda encontrar un cociente y un resto únicos. Se pueden analizar otros cocientes en D como 1,15 : 0,24.

 No es posible encontrar en D, un cociente y un resto únicos.

  

  Cuestión 04: ¿Es posible caracterizar los números decimales cuyo cociente es exacto?

 Plantear si se puede anticipar cuáles serán las divisiones exactas en D.

 Cuando se realiza esta tarea en N y en Z, se logra la emergencia de un nuevo objeto: el de “ser múltiplo”. Cuando hacemos la extensión a D, ¿qué nueva propiedad de los números se obtiene, ante esta misma pregunta?

 Las divisiones exactas en D

 La división será exacta solamente en el caso en que el denominador de la fracción irreducible, considerado como entero (o multiplicado por la potencia de 10 que lo convierta), tenga como únicos divisores a 2 o a 5.

  En D, si un número divide exactamente a otro este recibe el nombre de ...

Reflexiones en torno al álgebra y las funciones y su enseñanza

¿Qué aporta el cambio de marco al resolver un problema?

 Los alumnos de tercer año de la escuela están organizando una excursión de estudio. Necesitan alquilar un micro que los transporte y averiguaron los costos. La compañía en la que averiguaron cobra $1400 fijos y $3,50 por cada kilómetro de distancia entre la ciudad y la escuela.

1. ¿Cuál es el costo total del transporte para realizar una excursión a Los Pinos, que se encuentra a 235 km de la escuela?

2. Finalmente los alumnos realizaron la excursión a la ciudad de Los Rosales. El costo total del transporte fue de $2464. ¿A qué distancia de la escuela se encuentra dicha ciudad?

 A partir de esta actividad para el aula, anticipen una resolución posible e identifiquen en esa estrategia el marco interpretativo empleado, sobre la base de los contenidos tratados en clase.

 Comparto dos tipos de registros en un mismo marco, a fin de ejemplificar la necesidad de tenerlos en cuenta -así como a su coordinación- a la hora de interpretar el problema. 

  En el marco funcional

 Utilizando un registro algebraico

  f : f(x) = 1400 + 3,5 x

 1)  f(235)= 1400 + 3,5*235 = 2222,5

 El costo total del transporte a los Pinos es $ 2222,5.

 2)                     2464 = 1400 + 3,5 x

             2464 - 1400 = 3,5 x

     (2464-1400) / 3,5 = x

                               x = 304

 La ciudad se encuentra a una distancia de 304 km desde la escuela.

 Utilizando un registro gráfico

 "...la actividad conceptual implica la coordinación de los registros de representación. Es necesario, dice Duval, que un sujeto alcance el estadio de la coordinación de representaciones semióticamente heterogéneas, para que pueda discriminar al representante y al representado o a la representación y el contenido conceptual que esta representación expresa, solicita o ilustra."  (Guzmán R., I. 1998) 
 Es decir: Si se tiene en claro el concepto de función; el gráfico no resultará engorroso. 

Lo que se muestra a continuación es un registro de una clase correspondiente al curso Adolescencia y Escuela: Desafíos en tiempos de transformación del día Viernes 02 de Junio de 2017.

Nuestro profesor proyectando una Presentación Power Point.

Nuestro profesor utilizando un pizarron y marcador.

Proyentando un fragmento de un vídeo.

Proyectando una imagen de una caricatura.

Aquí se ve mejor algunos de los recursos de los que se vale mi profesor para dar la clase: proyector, equipo de audio, notebook.

Esta es una foto que luego mandé por WhatsApp a mi compañero.

Nuestro profesor proyectando una Presentación Power Point y explicando el tema.

Una de mis compañeras utiliza un celular para registrar una presentación Power Point que nuestro profesor compartía en la clase. Yo tomo apuntes.